ساختار فراکتال

عاشق بهترین ها نباش. بهترین باش. تا بهترین ها عاشق تو باشند

بررسی قابلیت بعد فراکتالی خاکدانه‌ها در ارزیابی مدیریت‌های متفاوت خاک

تخریب منابع آب و خاک در بسیاری از مناطق، از جمله نگرانی‌های تولید کنندگان بوده و مدیریت خاک در مزارع زراعی تنها گزینه­ای است که انسان از طریق آن می­تواند باعث تشدید یا جلوگیری از تخریب خاک گردد. نتایج گزارش شده توسط خاکشناسان، حاکی از قابلیت و پتانسیل نظریه فراکتال در تبیین و مدل­سازی ساختار سامانه خاک و درک و تخمین فرایندهای فیزیکی، شیمیایی و زیستی آن است. در این پژوهش اثر اقدامات مدیریتی مختلف بر ویژگی­های فیزیکی خاک با استفاده از هندسه فراکتالی بررسی شده است. بدین منظور، 14 مزرعه دیم با عملیات مدیریتی متفاوت واقع در حوضه آبخیز مِرِگ در جنوب شرقی کرمانشاه، مورد بررسی قرار گرفت. برای تعیین شرایط مدیریتی حاکم بر مزارع آزمایشی، از داده­های استحصال شده از مطالعه میدانی و برای تعیین خصوصیات فیزیکی خاک از
نمونه­های جمع­آوری شده از سطح مزرعه استفاده گردید. نتایج نشان داد که بُعد فراکتالی خاکدانه­ها عامل گویایی در انعکاس تأثیر اقدامات مدیریتی بر توزیع اندازه خاکدانه­ها می­باشد. خاکدانه­های پایدار و درنتیجه بعد فراکتالی کمتر در مزارعی مشاهده شد که در آن­ها مدیریت­های مناسب همانند افزودن کود دامی، کاهش عملیات خاک­ورزی و مدیریت نظام تناوب حاکم است. در مقابل خاکدانه­های ناپایدار، خردشوندگی بیشتر و بعد فراکتالی بزرگتر خاکدانه­ها، منعکس کننده شرایط نا به سامان مدیریتی همانند خاک­ورزی متراکم و شدید، شخم در جهت شیب و مدیریت نادرست بقایای گیاهی می­باشد. سامانه مدیریتی جنگل- زراعی بهترین الگوی مدیریتی در اراضی مورد مطالعه است و به طور معنی­داری باعث بهبود شرایط فیزیکی خاک گردیده است.

20.1001.1.22287124.1393.28.4.9.6

عنوان مقاله [English]

Evaluation of the Suitability of Fractal Dimension of Soil Aggregates in Assessing Different Soil Management Practices

نویسندگان [English]

• A. Ataee 1
• M. Gorji 2
• Y. Parvizi 3

A major concern of farmers is deterioration of the soil and water resources. Soil management is the most direct way for mankind to interfere with natural processes that may either intensify or hinder soil degradation. Fractal geometry has been widely used to describe heterogeneity in a wide range of natural processes, including physical systems of soil. In this study, the effects of different management practices on soil physical properties have been studied using fractal geometry. Fourteen farms with different soil management practices were selected within Mereg watershed located in Kermanshah province. The management practices information were obtained from the field survey, and used to determine the conditions of the experimental farms. Different soil samples were taken from these farms to determine soil physical properties in the laboratory. Results showed that the fractal dimension of aggregates could reflect the impact of soil management practices on aggregate size distribution. Suitable management practices such as reduced tillage, proper rotation systems, and using manure improved the soil aggregation and reduced fractal dimensions. Intensive tillage, plowing the steep slopes, and improper management of crop residues, on the other hand, enhanced the breakdown of aggregates and increased fractal dimensions of aggregates. Agroforestry system was the best management practices in this area.

هندسه فراکتال.

Presentation on theme: "هندسه فراکتال."— Presentation transcript:

2 مقدمه واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است. با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند. جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

3 وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

4 بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد. در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

5 تعریف فراکتال هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است . این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

6 فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند. فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

8 فرکتال (برخال) چیست؟ ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و … حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش. واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.

9 اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :
۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.

10 ۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .

11 برج هرست-آمریکا ۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .

12 اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است
اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان . البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند . این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.

13 اما در هندسه : فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد: ۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد. ۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد. ۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱.۵). برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

14 تصویر زیر( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.

15 رابطه فراکتال و معماری مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

16 انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نظم فراکتال می بود. خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.

17 فراکتال در معماری معاصر
به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

18 معماری فراکتال در بافت ماسوله
شکل پلکانی و مطبّق روستا که در امتداد شیب کوه رو به جنوب و در طول خطوط توپوگرافی زمین کشیده شده است، پاسخگویی فعالیت های روزمره روستای ماسوله است. شاخص ترین ویژگی واحدهای ساختمانی تشکیل دهنده بافت تاریخی روستای ماسوله، همجواری آنهاست. این همجواری به گونه ای در نظر گرفته شده که باعث می شود تمام خانه ها زنجیروار به هم پیوسته، و در امتداد خطوط توپوگرافی زمین قرار داشته باشند. هر واحد مسکونی نیز بین یک تا چهار طبقه دارد که بیش از 70% آنها بصورت دوطبقه احداث شده اند. به طور معمول پایین ترین طبقه غیرمسکونی بوده و کاربرد آنها انبار و طویله بوده است. طبقات فوقانی نیز شامل فضاهای مسکونی بوده اند.. این معماری بگونه ای سازگار با شرایط اقلیمی، توپوگرافی و اجتماعی، فضاهای داخلی تقریباً یکسان را شامل شده اند. فراکتال را در ماسوله مي توان در معماري تزئينات (اجزاء ساختماني كه در خودشان با مقياس متفاوت تكرار مي شوند)، معماري ساختمانها و ساختار فراکتال معماري بافت مي توان ديد، که این فراکتالی بودن ماسوله را با ویژگیهای فراکتالی و تطبیق محاسبه فرمی با نمونه خارجی نشان می دهیم.

20 اولین ویژگی فراکتالی بافت ماسوله همان طوري كه در بالا نشان داده شده این است که یک خودتشابهی در مقیاسهای متفاوت ارائه می دهد که نشانگر ساختار پیچیده و پیوسته در مقیاس است. ساختار بافت ماسوله در تمام مقیاسها سلسله مراتبی از خیلی بزرگ به خیلی کوچک نشان می دهد و برای وصل شدن به شبکه دیگر باید از طریق واسطه ای به شبکه دوم (کوچکتر) انتقال یابد. بافت پيوندي بسيار نزديك با وضع طبيعي آن دارد. شيارهاي موجود در محل باعث شده اند كه تعداد مسيرهای طولي و موازي اين روستا كم بوده و جهت مستقيم نداشته باشند. امتداد مسيرهاي طولي كم است و اغلب به وسيله پيچهايي شكسته مي شود.. اين همان فراكتال است که در سطوح متقاوتي از لحاظ مقياس، با پيوندي قومي و محكم بر اساس يك طرح مناسب‌ به هم متصل شده اند.

معماری آنلاین

هندسه فراکتال سبکهای معماری، فراکتال، معماری فراکتال واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است. با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست. مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند. جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است. وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در ساختار فراکتال مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد. در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است. میزان بی ساختار فراکتال نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند. ( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص ۱۶۶-۱۶۷) تعریف فراکتال هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است . این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند. فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند. فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند . فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است . Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, bestknown as the father of fractal geometry. He is Sterling Professor ofMathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at theThomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific NorthwestNational Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when hewas a child, and he was educated in France. He is a dual French and Americancitizen. Mandelbrot now lives and works in the United States. موزه گوگنهایم در بیلبائو فرکتال (برخال) چیست؟ ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و … حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش. واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد : ۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد. ۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Randomfractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت . ۳- حجم فرکتال (فرکتال در ساختار فراکتال معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود . اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان . البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند . این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند. فرکتال از منظر هندسی هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد. او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت. مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد. از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد . فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است. واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. اما در هندسه : فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد: ۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد. ۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد. ۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵). برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود : تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است. حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده : خاصیت خود متشابهی فرکتا لها شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است . همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد. رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند. نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است . واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد . جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است. خصوصیات اشکال فرکتال - اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.) - اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند. - مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند. - هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است. - هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است. - هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است. رابطه فراکتال و معماری مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است. انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود. فراکتال در معماری معاصر به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

عاشق بهترین ها نباش. بهترین باش. تا بهترین ها عاشق تو باشند

رابطه میان معماری شبکه ها، سیستمهای پیچیده و هندسه فراکتال

رابطه میان معماری شبکه ها، سیستمهای پیچیده و هندسه فراکتال # لندن، خبرگزاری جمهوری اسلامی 13/11/83 خارجی.علمی.گزارش. شواهد متعددی که بتازگی در اختیار محققان قرار گرفته نشان می دهد بسیاری از شبکه هایی که در جهان واقعی مورد استفاده قرار دارند از یک قانون معین پیروی می کنند که مختص اشکال فراکتال است. این امر می تواند منجر به تنظیم قواعد تازه ای برای معماری سیستمهای پیچیده شود. بسیاری از اشکالی که در طبیعت به چشم می خورند مثلا ساختمان یک کلم ایتالیایی (براکلی Broccoli) یا برگهای یک درخت کاج یا شاخه های یک درخت چنار و امثالهم بر مبنای قواعد فراکتال تنظیم شده اند. هر بخش کوچکتراز این اشیا از همان شکل و هیات مجموعه بزرگتر برخوردار است و نمونه کوچکتر همان بخش اصلی به شمار می آید. اجزا کوچکتر درون این بخش جزیی تر نیز به نوبه خود دارای شکل و هیات ساختار اولیه اند هرچند که ابعادشان مینیاتوری تر شده است. به نوشته هفته نامه علمی "نیچر" دو فیزیکدان از دانشگاه سیتی نیویورک به سرپرستی فیزیکدانی به نام چائومینک سانک نشان داده اند که نظیر همین تقارن که آن را اصطلاحا "مشابهت با خود self-similarity " می نامند در بسیاری از شبکه هایی که در جهان واقعی موجود است از شبکه اینترنت گرفته تا شبکه واکنشهای شیمیایی که زیرساز سوخت و سازهای سلولی است، عینا به چشم می خورد. وجود این نوع تقارن در ساختمان شبکه ها حکایت از وجود یک قانون جدید در معماری ساختارهای پیچیده دارد. این قانون را به زبان ساده می توان اینگونه بیان کرد: در ساختارهای پیچیده که از ترازها و سطوح گوناگون تشکیل یافته اند، ارتباط میان اجزا در ترازهای مختلف با یکدیگر متناظر است. نحوه اتصال گره ها و نقاط اتصال nodes بایکدیگر که موجب تولید خوشه هایی حاوی بازوها و گره های مختلف می شود و نحوه اتصال این خوشه های گوناگون، همگی تابع همان قانون آماری هستند که نحوه اتصال یک بازو به یک گره را تعیین می کند. چانک و همکارانش برای بدست آوردن این قانون از ابزار هندسه فراکتال و فیزیک آماری کمک گرفته اند. فراکتالها اشکالی هستند که اجزائشان مشابه یکدیگر است. ریاضیدانان و فیزیکدانان طی چند دهه گذشته مطالعات گسترده ای در مورد آنها انجام داده اند و از این هندسه برای بررسی رشد شبکه هایی نظیر، ساختار شهرهای رو به گسترش و یا ساختار اینترنت بهره گرفته اند. یک متخصص هندسه فراکتال شکل کلم ایتالیایی را به شیوه زیر توصیف می کند: مجموعه ای از نقاط که فضا را با کمک خطوط ظریفی به مکعبهای کوچک تقسیم کرده اند. این مکعبها و جعبه های کوچک در نقاط تقاطع خود با یکدیگر دربرگیرنده نقاطی هستند که سطح کلم را تشکیل می دهند. بقیه بخشها خالی است. برای تکمیل ساختار کلم باید ابعاد جعبه ها را بزرگتر کرد. هرچه ابعاد جعبه ها بزرگتر شود به تعداد کمتری از جعبه ها برای در برگرفتن شمار معینی از نقاط نیاز خواهد بود. اگر شمار جعبه هایی که حاوی نقاط هستند با N نمایش دهیم، آنگاه کاسته شدن از شمار این جعبه ها با یک قانون توانی به طول ضلع هر مکعب که آن را با L نمایش می دهیم مرتبط می شود. قانون مورد نظر چنین است:LN = L-d. در این فرمول d عبارت از یک بعد مکعب است. در هندسه معمولی یا غیر فراکتال اگر d=1 باشد آنگاه مکعب به یک خط راست تبدیل می شود،اگر d=2 مکعب به یک سطح مبدل می گردد. اما برای آنکه سطحی مشابه سطح کلم ایتالیایی درست شود باید رابطه زیر برقرار باشد: 2d>3. سانک و همکارانش به منظور تعمیم این روش به شبکه های طبیعی ناگزیر بودند مجموعه غیر متقاطعی از جعبه ها به ابعاد L را تعریف کنند. مشکلی که برای اغلب شبکه های اجتماعی یا زیستی وجود دارد آن است که مقدار این طول را می باید بر حسب خواص ذاتی خود شبکه تعریف کرد. راه غلبه بر مشکل آن است که فاصله میان دو گره را به عنوان شماره اتصالات در کوتاهترین زنجیره میان این دو گره تعریف کرد. به عنوان مثال در شبکه دوستان هر شخص، نزدیکترین دوستان وی تنها یک گام یا یک بازو با فاصله دارند. دوستان دوستان او دو بازو یا دو گام و قس علی هذا. سانک و همکارانش درمرحله بعد همه راههایی را که برای تقسیم partition یک شبکه به جعبه های مجزا به اندازه L موجود است محاسبه کردند. قاعده این تقسیم بندی آن است که دو گره می توانند در درون یک جعبه جای داده شوند به شرط آنکه فاصله میان آن دو از L کمتر باشد. هیچ گره ای در شبکه نباید بیرون از جعبه ها بماند و یک گره نمی باید در دو جعبه یا بیشتر قرار داده شود. برای شبکه های بزرک شمار زیادی راههای تقسیم وجود دارد. سانک و همکارانش با استفاده از روشهای ریاضی آن نوع تقسیم هایی را که کمترین شمار جعبه ها را در بر می گرفت مشخص ساختند و سپس کوشیدند رابطه میان این شمار حداقل از جعبه ها را که با N نمایش داده می شود با ابعاد جعبه ها یعنی L پیدا کنند. به این ترتیب روشن می شود که بسیاری از شبکه های واقعی (هرچند نه همه آنها) از خاصیتی مشابه خواص اشکال فراکتال،یعنی در اینجا نیز همان رابطه تقارن "مشابهت با خود" در میان اجزا شبکه برقرار است. شکل و ساختار هر جزء از شبکه مشابه ساختار کلی شبکه است. این محققان در محاسبات بعدی خود موفق شدند به شواهد بیشتری در خصوص خاصیت "خود - مشابهت" پیدا کنند. پژوهشگران برای این منظور از روشی استفاده کردند که معمولا در فیزیک ماده چگال به کار گرفته می شود. در این حال از جزییات میکروسکپی مربوط به نحوه اتصال گره ها در درون هر جعبه صرف نظر شد و در عوض به این نکته توجه شد که خود جعبه ها چگونه به یکدیگر متصل شده اند. هر دو جعبه متصل بهم در نظر گرفته می شوند اگر که گره های موجود در درون آنها به یکدیگر اتصال داشته باشند. به این ترتیب در محاسبه جدید، به خود جعبه ها به عنوان ابر- گره ها نظر شد. نتیجه ای که در این حالت بدست آمد دقیقا مشابه همان حالت قبلی بود: نحوه اتصال جعبه ها به یکدیگر نیز عینا با همان فرمولی بیان می شود که بیانگر نحوه اتصال گره هاست. به عبارت دیگر شکل اجزا شبکه در همه سطوح آن عینا مشابه شکل کلی آن است، اما نتیجه بدست آمده در عین حال که حالت خود - مشابهت اجزا شبکه را مورد تاکید قرار می دهد برخی مسائل نظری در خصوص نحوه تفسیر ساختار شبکه را نیز مطرح می سازد. برخلاف گره ها و بازوها که واقعا جزو شبکه هستند، جعبه هایی که محققان برای جا دادن گره ها در نظر گرفته بودند، برساخته های فرضی خود آنان به شمار می ایند. سوال این است که جایگاه این جعبه های فرضی در شبکه های واقعی چیست ؟ ایا این جعبه های فرضی همانند جوامع کوچکتری هستند که در دل یک جامعه بزرک پدید می ایند و از شماری از افراد تشکیل یافته اند؟ آیا این جعبه ها، همانند علامت تجاری و شکل مشخص کننده هر شبکه عمل می کنند؟ از طرف دیگر شواهد نشان می دهد که برخی از شبکه های واقعی نظیر شبکه اینترنت فاقد چنین خاصیت خود-مشابهت هستند . این امر بدین معنی است که رابطه میان جعبه ها یک رابطه عام برای همه شبکه ها نیست. نکته دیگر اینکه مشابهت میان شبکه های واقعی و اشکالی که در هندسه فراکتال ظاهر می شوند امر شگفت انگیزی است، زیرا در فیزیک آماری یعنی آنجا که قوانین توانی و قاعده خود-مشابهت مورد استفاده قرار دارند،این هر دو خاصیت با خاصیت دیگری موسوم به "تغییر یا انتقال حالت transition phase "مرتبطند. انتقال حالت مربوط به سیستمهایی است که در مرز میان نظم و بی نظمی قرار دارند. سوال اینست که چرا بسیاری از شبکه هایی که در جهان واقعی یافت می شوند نیز در چنین مرز باریکی فعالییت خود را سامان می دهند؟ آیا علت این امر آن است که این شبکه ها عامدانه معماری خود را اینگونه انتخاب کرده اند تا برخی از جنبه های عملکرد خود را در تراز بهینه قرار دهند؟ یا آنکه بهره گیری از قواعد توانی برای معماری ساختار این شبکه ها، معنای خاصی ندارد و به صورت تصادفی صورت گرفته است ؟ ازآنجا که شبکه های مورد بررسی این محققان کاربردهای گسترده ای در زندگی دارند و به عنوان نمونه شبکه ارتباط میان پروتئینها در بدن انسان (946پروتئین ) و دیگر جانداران مثلا انگل موسوم به ئی کولای (429روتئین ) دارای چنین ساختاری است، یافتن پاسخ دقیق برای این پرسشها از اهمیت فراوان برخوردار است. 345/2222/127

ترجیح الگوی فرکتال و کاربرد آن در درمان تخریب ماکولا

محققان دانشگاه اورگان گزارش دادند، کودکان قبل از سومین سال تولد خود، مانند بزرگسالان الگوهای فراکتال بینایی را ترجیح می دهند. این کشف در میان کودکان بزرگ شده در دنیای هندسه اقلیدسی، مانند خانه هایی با اتاقهایی که با خطوط مستقیم ساخته شده اند و به صورت ساده تکرار نشده اند، ظهور کرده است.

فراکتال ( Fractal ) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست می آید. به گفتاری دیگر فراکتال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند.

“بر خلاف انسانهای اولیه که خارج از خانه در ساوانا زندگی می کردند، انسانهای امروزی بیشتر عمر اولیه خود را در داخل این سازه های ساخته شده توسط انسان می گذرانند. بنابراین، از آنجا که کودکان به شدت در معرض این الگوهای فراکتال طبیعی، پیچیدگی کم تا متوسط ​​قرار ندارند، این اولویت باید از چیزی نشأت گرفته باشد که زودتر از این زمان رشد کرده یا ممکن است ذاتی باشد.”

تیم تحقیقاتی کشف کرد که چگونه تفاوت های فردی در سبک های پردازش، ممکن است روند روان بودن فراکتال را به حساب آورد. تحقیقات قبلی حاکی از آن بود که چنین ترجیحی توسط عوامل محیطی و رشد در طول عمر ایجاد می شود.

در این مطالعه، محققان شرکت کنندگان – 82 بزرگسال، 18 تا 33 ساله و 96 کودک، 3 تا 10 ساله – را در معرض تصاویر الگوهای فراکتال، دقیق و آماری قرار دادند که از لحاظ پیچیدگی در صفحه های رایانه وجود دارد.

فراکتال های دقیق بسیار مرتب شده اند به طوری که همان الگوی اساسی دقیقاً در هر مقیاس تکرار می شود و ممکن است دارای تقارن فضایی مانند آنچه در دانه های برف دیده می شود، باشد.

در مقابل، فراکتالهای آماری در ابعادی به روشی مشابه اما نه دقیق تکرار می شوند و دارای تقارن مکانی نیستند، همانطور که در خط ساحلی، ابرها، کوهها، رودخانه ها و درختان دیده می شود. هر دو شکل در هنر در بسیاری از فرهنگ ها ظاهر می شود.

“هنگام مشاهده الگوها، افراد از میان جفت تصویرها، تصویری را انتخاب می کنند که از نظر پیچیدگی متفاوت است. هنگام بررسی دقیق الگوهای فراکتال، انتخاب شامل جفت های مختلفی از عکس های دانه برف مانند یا شاخه های درخت است. برای فراکتال های آماری، انتخاب شامل انتخاب بین جفت تصاویر ابر مانند است.

“از آنجا که افراد تعادل سادگی و پیچیدگی را ترجیح می دهند، ما به دنبال تأیید این موضوع بودیم که مردم پیچیدگی کم تا متوسط ​​را در الگوهای تکراری آماری ترجیح می دهند و وجود نظم در الگوهای تکرار دقیق اجازه تحمل و ترجیح پیچیدگی الگوهای بیشتری را می دهد.

اگرچه تفاوت هایی در ترجیحات بزرگسالان و کودکان وجود داشت، روند کلی مشابه بود. الگوهای دقیق با پیچیدگی بیشتر ترجیح داده می شوند، در حالی که اولویت الگوهای آماری در پیچیدگی کم متوسط ​​به اوج می رسد و سپس با پیچیدگی اضافی کاهش می یابد.

در مراحل بعدی، تیم توانست این احتمال را که استراتژی های ادراکی یا تعصبات مربوط به سن باعث ترجیحات مختلف شده است، رد کند.

“تنظیمات ما برای فراکتال قبل از تولد سوم ما تنظیم شده است، که نشان می دهد سیستم بینایی ما برای پردازش بهتر این الگوها که از نظر ماهیت بسیار شایع هستند، تنظیم شده است.”

تجربه زیبایی از مشاهده فراکتال های طبیعت دارای مزایای بالقوه زیادی است، از کاهش استرس گرفته تا خستگی ذهنی.

“طبیعت این مزایا را به صورت رایگان فراهم می کند، اما ما به طور فزاینده ای خود را در محاصره مناظر شهری عاری از فراکتال می بینیم.” “این مطالعه نشان می دهد که استفاده از فراکتال در محیط های شهری می تواند از همان سنین پایین مزایای آن را فراهم کند.”

محققان از طرح های الهام گرفته از فراکتال برای ایجاد کاشت چشم جهت درمان تخریب ماکولا استفاده می کند.

برای کسب اطلاعات بیشتر به مؤسسه سلامت مغز دانا مراجعه کنید.

Kelly E. Robles et al. A shared fractal aesthetic across development, Humanities and Social Sciences Communications (2020). DOI: 10.1057/s41599-020-00648-y